커 계량

3. 성질

커 계량은 대수적으로 특별하며, 페트로프 분류의 D형에 속한다. 커 계량은 두 개의 선형독립 킬링 벡터장을 가지는데, 이는 보이어-린드퀴스트 좌표계에서 다음과 같다.

:$\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}$

:$\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\backslash phi\}$

이들은 각각 시간 변화 및 블랙홀 회전축에 대한 회전을 나타낸다.

4. 구조

커 계량은 밖부터 안으로의 순서로 다음과 같은 구조들을 가진다.^[1]

• 작용권
• 사건 지평선
• 코시 지평선
• 닫힌 시간꼴 곡선
• 고리 모양의 특이점

회전하는 물체는 일반 상대성 이론에서 예측하는 관성 끌림(렌스-티링 세차 운동)을 나타낸다. 특히 회전하는 블랙홀의 경우, 충분히 가까운 거리에서는 빛을 포함한 모든 물체가 블랙홀과 함께 회전해야 한다. 이러한 현상이 나타나는 영역을 작용권이라고 한다.

회전하는 블랙홀은 겉보기 특이점을 갖는 표면을 가진다. 바깥쪽 표면은 작용권을 둘러싸고 있으며, 납작한 구와 유사하다. 안쪽 표면은 사건 지평선을 나타낸다.

커 기하학은 측지선 방정식을 닫힌 형식으로 정확하게 풀 수 있다. 또한, 두 개의 킬링 벡터장 외에도 킬링 텐서를 허용한다. 바일 텐서는 페트로프 형식 '''D'''이다.

4. 1. 작용권과 틀 끌림

4. 2. 사건 지평선

4. 3. 코시 지평선과 특이점

4. 4. 닫힌 시간꼴 곡선 (CTC)

5. 4-기울기 미분 연산자

커 계량에 대한 반변 성분 $g^\{ik\}$의 계량 텐서는 보이어-린퀴스트 좌표에서 다음의 4-기울기 미분 연산자의 제곱을 표현한 식으로 나타낼 수 있다.^[27]

$g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash nu\}\; =-\backslash frac\{1\}\{c^\{2\}\backslash Delta\}\; \backslash left(r^\{2\}\; +\; a^\{2\}\; +\; \backslash frac\{r\_\backslash text\{s\}ra^\{2\}\}\{\backslash Sigma\}\backslash sin^\{2\}\backslash theta\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)^\{2\}-\; \backslash frac\{2r\_\backslash text\{s\}ra\}\{c\backslash Sigma\backslash Delta\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\backslash phi\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\{t\}\}\; +\backslash frac\{1\}\{\backslash Delta\backslash sin^\{2\}\backslash theta\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{r\_\backslash text\{s\}r\}\{\backslash Sigma\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\backslash phi\}\backslash right)^\{2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash Delta\}\{\backslash Sigma\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash right)^\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Sigma\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\backslash theta\}\backslash right)^\{2\}$

6. 주요 표면

커 계량은 사건 지평선과 에르고스피어 외부 경계 등 중요한 표면을 가진다. 에르고스피어 외부 경계는 $g\_\{tt\}\; =\; 0$ 인 곳으로, 납작한 구와 유사한 모양을 하고 있다.^[24]

회전하는 블랙홀은 계량이 겉보기 특이점을 갖는 표면을 가지고 있다. 이러한 표면의 크기와 모양은 블랙홀의 질량과 각운동량에 따라 달라진다. 바깥쪽 표면은 에르고스피어를 둘러싸고 있으며, 납작한 구와 유사한 모양을 하고 있다. 안쪽 표면은 사건의 지평선을 나타낸다. 이 지평선의 내부로 통과하는 물체는 다시는 이 지평선 밖의 세상과 소통할 수 없다.^[1] 그러나 두 표면 모두 진정한 특이점은 아니다. 겉보기 특이점이 다른 좌표계에서 제거될 수 있기 때문이다.

7. 질량, 에너지 관계

펜로즈 과정 등을 통해 블랙홀의 완전 회전 에너지 $E\_\{\backslash rm\; rot\}\; =\; c^2\backslash left(M\; -M\_\{\backslash rm\; irr\}\backslash right)$가 추출될 경우,^[27][20] 남은 질량은 불가역 질량 이하로 줄어들 수 없다. 블랙홀이 스핀 $a=M$으로 회전한다면, 총 질량 등가 $M$은 $M$이 $M\_\backslash text\{irr\}$와 같은 슈바르츠실트 블랙홀에 비해 $\backslash sqrt\{2\}$ 배 더 높다. 이는 정지된 물체를 회전시키기 위해서는 시스템에 에너지를 가해야 하기 때문이다. 질량-에너지 등가성에 의해 이 에너지 또한 질량 등가를 가지며, 이는 시스템의 총 질량-에너지 $M$에 더해진다.

물체의 총 질량 등가 $M$ (중력 질량) (회전 에너지 포함)과 불가역 질량 $M\_\backslash text\{irr\}$ 사이의 관계는 다음과 같다.^[21][22]

:$2\; M\_\{\backslash rm\; irr\}^2\; =\; M^2\; +\; \backslash sqrt\{M^4\; -\; J^2\; c^2\; /\; G^2\}\; \backslash Longrightarrow\; M^2\; =\; M\_\{\backslash rm\; irr\}^2\; +\; \backslash frac\{J^2\; c^2\}\{4\; M\_\{\backslash rm\; irr\}^2\; G^2\}.$

8. 측지선

커 시공간에서 자유 낙하하는 입자의 운동(측지선 운동)은 해밀턴-야코비 방정식을 통해 기술되며, 변수 분리를 통해 풀 수 있다.^[38][39] 커 시공간은 시간 병진 대칭과 회전 대칭과 관련된 두 개의 킬링 벡터가 존재하며, 이에 해당하는 두 개의 독립적인 보존량(에너지 E^영어 와 각운동량 L_z^영어)이 존재한다. 해밀턴-야코비 방정식이 적분 가능하려면, 해밀토니안 외에 네 번째 독립적인 보존량이 필요했는데, 브랜든 카터(Brandon Carter)는 이 네 번째 보존량(Q^영어)의 존재를 지적했다. 이를 카터 상수라고 부른다.^[26] 카터 상수는 입자의 총 각운동량과 관련이 있으며, 다음과 같이 주어진다.

$$Q\; =\; p\_\{\backslash theta\}^\{2\}\; +\; \backslash cos^\{2\}\backslash theta\; \backslash left(a^\{2\}\backslash left(\backslash mu^\{2\}\; -\; E^\{2\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash frac\{L\_z\}\{\backslash sin\backslash theta\}\; \backslash right)^\{2\}\; \backslash right).$$

여기서 p_θ^영어는 입자의 4-운동량이다.

마틴 워커(Martin Walker)와 로저 펜로즈(Roger Penrose)는 커 시공간에 2계의 분리 불가능한 킬링 텐서가 존재함을 보였으며, 카터 상수가 입자의 운동량에 관해 2차 보존량이 됨을 밝혔다.^[40] 1973년, 로버트 플로이드(Robert Floyd)는 커 시공간에 존재하는 2계의 킬링 텐서가 2계의 킬링-야노 텐서를 사용하여 표현될 수 있음을 지적했다.^[41]

9. 다른 엄밀해와의 관계

커 계량은 정상 축 대칭 진공 해로, 아인슈타인 장 방정식의 특정 예시이다. 아인슈타인 장 방정식에 대한 모든 정상 축 대칭 진공 해 집합은 에른스트 진공이다.

커 해는 블랙홀을 모델링하는 다양한 비진공 해와 관련이 있다. 예를 들어, 케르-뉴먼 전자기 진공은 전하를 가진 (회전하는) 블랙홀을 모델링하는 반면, 케르-바이디야 무효 먼지는 유입되는 전자기 복사를 가진 (회전하는) 블랙홀을 모델링한다.

커 계량의 특수한 경우($a=0$)는 슈바르츠실트 좌표에서 정적이고 구면 대칭인 ''비회전'' 블랙홀을 모델링하는 슈바르츠실트 계량을 생성한다. (이 경우 질량을 제외한 모든 제로크 모멘트가 사라진다.)

커 기하학의 ''내부'', 정확히는 그 일부는 등거리로 찬드라세카르-페라리 CPW 진공과 같으며, 이는 충돌하는 평면파 모델의 예시이다. 이는 특히 흥미로운데, 이 CPW 해의 전역 구조가 케르 기하학과 상당히 다르기 때문에, 원칙적으로 실험자는 두 개의 적절한 중력 평면파의 충돌을 배치하여 케르 내부 (바깥 부분)의 기하학을 연구할 수 있을 것이다.

10. 다중극 모멘트

커 기하학은 0이 아닌 일련의 상대론적 다중극 모멘트를 통해 특징지을 수 있다.^[36] 처음 두 개는 장의 근원인 질량과 각운동량으로 해석될 수 있다. 한센, 손, 게로흐는 상대론적 다중극 모멘트의 대안적 공식을 제시했는데, 이는 서로 일치한다. 커 기하학의 상대론적 다중극 모멘트는 한센에 의해 계산되었으며, 다음과 같다.

:$M\_n\; =\; M\; [i\; a]^n$

따라서, 슈바르츠실트 진공의 특수한 경우($a=0$)는 일반 상대성 이론의 "단극 점원"을 제공한다.^[36]

11. 극한 커 계량

$|a|>M$일 때, 커 시공간에는 사건 지평선이 존재하지 않으며, 벌거숭이 특이점을 가진다.^[31]

12. 열린 문제

커 기하학은 종종 회전하는 블랙홀의 모델로 사용되지만, 해가 특정 콤팩트 영역 외부에서만 유효하다고 간주될 경우(특정 제한 조건에 따라), 이론적으로는 외향 해로서 중성자별이나 지구와 같은 블랙홀이 아닌 회전하는 질량체를 둘러싼 중력장을 모델링하는 데 사용될 수 있다. 이는 비회전 케이스의 경우 매우 잘 작동하며, 슈바르츠실트 진공 외부는 슈바르츠실트 유체 내부와 일치할 수 있으며, 실제로 더 일반적인 정적 구면 대칭 완전 유체 해와도 일치할 수 있다. 그러나 커 외부와 일치할 수 있는 회전하는 완전 유체 내부를 찾는 문제, 또는 실제로 임의의 점근적으로 평평한 진공 외부 해를 찾는 문제는 매우 어렵다는 것이 입증되었다.^[37] 특히, 한때 커 외부에 일치하는 후보로 여겨졌던 왈퀴스트 유체는 이제 그러한 일치를 허용하지 않는 것으로 알려져 있다. 현재로서는, 천천히 회전하는 유체 구를 모델링하는 근사적인 해만 알려져 있는 것으로 보인다(이들은 질량과 각운동량이 0이 아니지만 고차 다중극자 모멘트가 0인 납작한 회전 타원체 구의 상대론적 유사물이다). 그러나 회전하는 얇은 원반을 모델링하는 정확한 먼지 해인 노이게바우어-마이넬 원반의 외부는 커 기하학의 극한 경우에 접근한다. 커 시공간의 일부를 식별하여 얻은 물리적인 얇은 원반 해도 알려져 있다.^[37]

13. 역사

뉴질랜드의 수학자 로이 커가 1963년에 발견하였다.^[45][46][47] 커 계량은 1915년 카를 슈바르츠실트가 발견한 슈바르츠실트 계량의 회전체에 대한 일반화로, 전하를 띠지 않고 구형 대칭이며 회전하지 않는 물체의 시공간 기하학을 설명한다. 전하를 띤 구형의 비회전 물체에 대한 해인 라이스너-노르드스트룀 계량은 그 직후(1916-1918)에 발견되었다. 그러나 전하를 띠지 않고 ''회전하는'' 블랙홀에 대한 정확한 해인 커 계량은 로이 커가 1963년에 발견하기 전까지 풀리지 않은 문제로 남아 있었다.^[1][2] 전하를 띠고 회전하는 블랙홀에 대한 자연스러운 확장인 커-뉴먼 계량은 그 직후인 1965년에 발견되었다.

이 네 가지 관련 해는 다음 표로 요약할 수 있다.

참조

_[1] 논문 Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics 1963
_[2] 서적 "Cracking the Einstein code: relativity and the birth of black hole physics, with an Afterword by Roy Kerr" Princeton University Press
_[3] 논문 Divergent reflections around the photon sphere of a black hole Cosmic Dawn Center 2021-12
_[4] 웹사이트 Black holes warp the universe into a grotesque hall of mirrors https://www.livescie[...] 2021-07-22
_[5] 논문 Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger 2016-02-11
_[6] 논문 Note on the Kerr Spinning-Particle Metric https://aip.scitatio[...] 1965-06-01
_[7] 논문 Kerr–Newman metric 2014
_[8] 논문 Bäcklund Transformation for the Ernst Equation of General Relativity https://link.aps.org[...] 1978-10-30
_[9] 논문 A radiating Kerr black hole and Hawking radiation 2020-01
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_[11] 서적 Relativistic Hydrodynamics https://books.google[...] Oxford University Press
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_[38] 논문 1968
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_[45] 저널 Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special matrices 1963-09-01
_[46] 저널 Focus: Landmarks—The curved space around a spinning black hole 2014-02-21
_[47] 서적 The Kerr spacetime: rotating black holes in general relativity http://www.cambridge[...] Cambridge University Press 2009-02